Taylorova řada

[Podle B. Taylora], mocninná řada, vyjadřující funkci \(f\) v okolí bodu \(a\). Má tvar

\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}\,(x-a)^n, \]

kde \(f^{(n)}(a)\) označuje hodnotu \(n\)-té derivace funkce \(f\) v bodě \(a\). Jestliže v nějakém okolí bodu \(a\) platí, že součet této řady je roven hodnotě funkce \(f(x)\), hovoří se o Taylorově rozvoji funkce \(f\) v bodě \(a\).

Speciálním případem je Taylorova řada se středem v bodě \(a = 0\), která se nazývá Maclaurinova řada. Mezi důležité Maclaurinovy řady patří například

\[ e^x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \cdots + \frac{x^n}{n!} + \cdots, \]

\[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} + \cdots, \]

\[ \sin x = \frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \cdots, \]

které konvergují pro všechna reálná čísla \(x\), a dále

\[ \ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots + (-1)^{n-1}\frac{x^n}{n} + \cdots, \]

jež konverguje pro \(-1 < x \le 1\).

Je-li funkce \(f\) polynom, má její Taylorova řada konečný počet členů. Například Taylorova řada funkce \(f(x) = x^3 - 1\) v bodě \(a = -2\) má tvar

\[ (x+2)^3 - 6(x+2) + 12(x+2) - 9. \]

V teorii funkcí komplexní proměnné se Taylorova řada používá k vyjádření holomorfní funkce jedné nebo více proměnných pomocí mocninné řady. Také v tomto případě má Taylorova řada stejný formální tvar, přičemž proměnná \(x\) je komplexní.