holomorfní funkce

[Řečtina holos – celý, úplný, latina – forma], komplexní funkce \(f\) komplexní proměnné \(z\), která má v daném bodě \(z_0\) derivaci a současně existuje okolí tohoto bodu, v němž má derivaci ve všech bodech.

Formálně řečeno, funkce \(f\) je holomorfní v bodě \(z_0\), existuje-li otevřené okolí \(U(z_0)\), ve kterém je funkce \(f\) komplexně diferencovatelná. Je-li \(f\) holomorfní ve všech bodech otevřené množiny \(G\), nazývá se holomorfní funkcí na množině \(G\).

Zásadním rysem holomorfních funkcí je jejich mimořádná regularita: každá holomorfní funkce je nekonečněkrát diferencovatelná a lze ji v okolí libovolného bodu \(z_0 \in G\) rozvinout do konvergentní mocninné řady (Taylorovy řady)

\[ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n, \]

která v tomto okolí jednoznačně určuje hodnoty funkce. Tato vlastnost nemá obdobu v teorii funkcí reálné proměnné a činí z holomorfních funkcí základní objekt komplexní analýzy.

Holomorfní funkce splňují Cauchyho–Riemannovy podmínky a řídí se silnými důsledky, jako je Cauchyho integrační věta, princip identity či maximový modulový princip. Tyto vlastnosti vedou k tomu, že chování holomorfní funkce je vnitřně svázané a lokální znalost funkce určuje její globální chování.

Teorie holomorfních funkcí hraje klíčovou roli nejen v čisté matematice, ale také ve fyzice, například v kvantové mechanice, teorii pole, hydrodynamice a elektrodynamice.