Steinerova věta

[Podle Jacoba Steinera], vztah pro převod momentu setrvačnosti mezi dvěma rovnoběžnými osami: je‑li o osa ve vzdálenosti \(d\) od těžišťové osy o_S, pak platí

\( J_{o} \;=\; J_{S} \;+\; m\,d^{2} \)

kde \(J_{o}\) je moment setrvačnosti tělesa vzhledem k ose o, \(J_{S}\) moment vzhledem k rovnoběžné ose procházející těžištěm S, \(m\) hmotnost tělesa a \(d\) kolmá vzdálenost os.

Odvození (diskrétní soustava): pro body o hmotnostech \(m_i\) v polohách \(\mathbf{r}_i\) vzhledem k S a posun osy o vektor \(\mathbf{d}\) platí

\( J_{o} \;=\; \sum_i m_i\,\lVert \mathbf{r}_i+\mathbf{d} \rVert^{2} \;=\; \sum_i m_i\,\lVert \mathbf{r}_i \rVert^{2} \;+\; 2\,\mathbf{d}\!\cdot\!\sum_i m_i\mathbf{r}_i \;+\; \Big(\sum_i m_i\Big)\lVert \mathbf{d} \rVert^{2} \;=\; J_{S} \;+\; m\,d^{2} \),

protože \(\sum_i m_i \mathbf{r}_i = \mathbf{0}\) pro souřadnice vztažené k těžišti.

Tenzorová (3D) forma: pro setrvačnost jako tenzor \(\mathbf{I}\) a jednotkovou matici \(\mathbf{E}\) platí

\( \mathbf{I}_{o} \;=\; \mathbf{I}_{S} \;+\; m\big( \lVert \mathbf{d} \rVert^{2}\,\mathbf{E} \;-\; \mathbf{d}\,\mathbf{d}^{\mathsf T} \big). \)

Planární (průřezové) momenty: pro druhý moment plochy (inženýrská „Steinerova věta“)

\( I_{o} \;=\; I_{\bar{o}} \;+\; A\,d^{2}, \)

kde \(I_{\bar{o}}\) je průřezový moment kolem těžišťové osy, \(A\) plocha a \(d\) vzdálenost rovnoběžných os (užití např. při výpočtech ohybu nosníků).

Poznámky a použití: pro \(d=0\) dostáváme \(J_{o}=J_{S}\); posun osy po směru osy rotace moment nemění. V dynamice tuhých těles se věta využívá k převodu \(J\) mezi osami a v teorii fyzického kyvadla dává \( T = 2\pi \sqrt{ \dfrac{J_{o}}{m g d} } \) po dosazení \(J_{o}=J_{S}+m d^{2}\) a zavedení redukované délky \( L_r = \dfrac{J_{o}}{m d} \).