Moivreova věta

Věta, pojmenovaná po francouzském matematikovi A. de Moivreovi, udávající vztah mezi mocninami komplexního čísla a jeho goniometrickým vyjádřením. Patří k základním výsledkům elementární teorie komplexních čísel a využívá se v matematické analýze i ve fyzice.

Je-li komplexní číslo zapsáno v goniometrickém tvaru komplexního čísla

\[ z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi), \]

kde \(r = |z|\) je modul a \(\varphi\) argument, pak pro každé celé číslo \(n\) platí

\[ z^n = r^n(\cos n\varphi + i\sin n\varphi). \]

Věta umožňuje efektivně počítat mocniny komplexních čísel a převádět goniometrické výrazy do algebraického tvaru. Úzce souvisí s Eulerovým vztahem mezi exponenciální a goniometrickou funkcí a často se používá při odvozování trigonometrických identit.

Moivreova věta má také praktický důsledek pro řešení rovnic \(z^n = w\): všechna \(n\)-tá odmocnina komplexního čísla \(w\) se získá rozdělením argumentu na \(n\) částí a přičtením celých násobků \(2\pi\). Geometricky tvoří tyto odmocniny vrcholy pravidelného \(n\)-úhelníku na kružnici se středem v počátku komplexní roviny.