konvexní

Vlastnost matematických funkcí, geometrických objektů (křivek, ploch) nebo množin, která označuje tvar prohnutý směrem ven (opakem je konkávní). Reálná funkce \( f \) jedné proměnné je konvexní na intervalu \( J \), pokud pro libovolné body \( x_1 \), \( x_2 \) z \( J \) a každé číslo \( t \) (\(0 \leq t \leq 1\)) platí nerovnost:

\[ f(tx_1 + (1 - t)x_2) \leq t f(x_1) + (1 - t) f(x_2) \]

Geometricky to znamená, že graf funkce v každém bodě intervalu leží pod nebo právě na úsečce spojující libovolné dva body grafu v tomto intervalu. Konvexnost lze také určit pomocí druhé derivace funkce: pokud

\[ \frac{d^2 f}{dx^2} \geq 0, \]

je funkce konvexní na daném intervalu. Příkladem konvexní funkce je \( \sin x \) na každém intervalu typu \((2n-1)\pi, 2n\pi)\), kde \( n = 0, \pm1, \pm2, \dots \). Podobně se zavádí pojem konvexnosti i pro funkce více proměnných. Množina v rovině (nebo v euklidovském prostoru) je konvexní, jestliže s každými dvěma různými body \( X, Y \) obsahuje i všechny body úsečky \( XY \). Například každý trojúhelník je konvexní. Obdobně se zavádí pojem konvexnosti i pro podmnožiny lineárních prostorů.