věta o implicitní funkci

Základní věta o řešení rovnice typu F(x,y)=0. Když existuje funkce f(x) taková, že F(x,f(x))=0, tj. řešení uvedené rovnice, nazývá se implicitně určenou funkcí. Nejjednodušší věta o implicitní funkci: nechť X a Y jsou podmnožiny reálných čísel a nechť (x₀, y₀) je vnitřní bod kartézského součinu X×Y. Je-li funkce F: X×Y→R spojitá v okolí bodu (x₀, y₀), platí-li F(x₀,y₀)=0 a existují-li čísla δ>0 a ε>0 tak, že pro každé pevné x∈(x₀-δ, x₀+δ) je funkce F(x, y) v proměnné y ostře monotónní na intervalu (y₀-ε, y₀+ε), potom existuje jediná funkce f: (x₀-Δ, x₀+Δ) → (y₀-ε, y₀+ε), kde Δ>0 je vhodné číslo tak, že je F(x,f(x))=0 pro všechna x∈(x₀-Δ, x₀+Δ). Funkce f je přitom spojitá a platí, že f(x₀)=y₀. Jsou-li splněny jisté předpoklady o parciálních derivacích funkce F, má implicitně definovaná funkce f derivace, které lze vypočítat. Výsledky tohoto typu jsou obsahem složitějších vět o implicitní funkci.