Neilova parabola

[Nýlova parabola], podle anglického matematika W. Neila (*1637 – †1670), semikubická parabola – rovinná algebraická křivka třetího řádu, jejíž rovnice v pravoúhlé kartézské soustavě souřadnic má tvar

\( a\,x^{3} - y^{2} = 0, \quad a > 0 \)

neboli ekvivalentně \( y^{2} = a\,x^{3} \). Tvar křivky je určen parametrem \(a\); pro \(a = 1\) je základní tvar dán rovnicí \( y = \pm x^{3/2} \). Křivka má v počátku souřadnic dvojný bod se společnou tečnou rovnoběžnou s osou x (tzv. bod návratu, angl. cusp).

Semikubická parabola byla poprvé popsána v 17. století a nezávisle na W. Neilovi ji studovali také P. de Fermat a C. Huygens. Je známa tím, že délka oblouku od počátku do libovolného bodu na křivce je vyjádřitelná elementárními funkcemi, což je vzácná vlastnost u algebraických křivek vyšších řádů.

Parametrické vyjádření: \( x = t^{2}, \quad y = a^{1/2} \, t^{3} \). V této formě lze snadno odvodit vlastnosti křivky i délku oblouku.

Použití a výskyt: křivka se objevuje v teorii ploch, v mechanice při popisu některých trajektorií a v konstrukci tzv. brachistochronních drah se zakřivením u počátečního bodu.