Diracův impuls

Idealizovaný nekonečně krátký impuls, používaný v teorii signálů, elektronice, fyzice a matematice. Matematicky se popisuje Diracovou delta distribucí \(\delta(t)\), pojmenovanou po britském fyzikovi Paulu Diracovi. Nejde o běžnou funkci, ale o distribuci (zobecněnou funkci). Formálně se uvažuje jako objekt, který je mimo bod \(t=0\) nulový a jehož integrál přes celou osu je roven jedné: \(\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)\,dt=1\). Lze si jej představit jako mezní případ stále kratšího a vyššího impulzu se zachovanou plochou. Základní vlastností je tzv. vzorkovací vlastnost: \(\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\,\delta(t-t_0)\,dt=f(t_0)\). Posunutý impuls \(\delta(t-t_0)\) je soustředěn do okamžiku \(t_0\); násobek \(A\delta(t-t_0)\) má plochu \(A\). Rozměr delta distribuce je převráceným rozměrem její nezávislé proměnné, takže například \(\delta(t)\) má při čase měřeném v sekundách rozměr \(\mathrm{s}^{-1}\). V teorii lineárních časově invariantních soustav slouží jednotkový Diracův impuls jako ideální zkušební signál. Odezva soustavy na něj se nazývá impulsní odezva \(h(t)\); známe-li ji, lze výstup soustavy pro libovolný vstup určit konvolucí \(y(t)=x(t)*h(t)\). Proto se impulsní buzení používá při popisu přenosových vlastností elektrických obvodů, filtrů, akustických systémů i regulačních soustav. Ve fyzice delta distribuce modeluje ideálně bodové nebo okamžité zdroje, například bodový náboj, bodovou hmotnost či velmi krátký silový impuls. Fourierova transformace jednotkového Diracova impulzu je při běžné konvenci konstantní v celém frekvenčním spektru, takže ideální impuls obsahuje všechny frekvence se stejnou vahou. V diskrétním čase se používá obdobný jednotkový impuls \(\delta[n]\), který je roven jedné pro \(n=0\) a nule pro ostatní celočíselné hodnoty; matematicky jde o analogii Kroneckerova delta symbolu.