Taylorova řada

[Tejlorova, podle B. Taylora ], Taylorova řada funkce ƒ v bodě a, mocninná řada se středem a tvaru (*) ∑_n=0 1/n! ƒ⁽ⁿ⁾(a) (x-a)ⁿ, kde ƒ⁽ⁿ⁾(a) je hodnota n-té derivace funkce ƒ v bodě a. Jestliže v nějakém okolí bodu a je součet Taylorovy řady roven ƒ(x), nazývá se Taylorova řada též Taylorovým rozvojem funkce ƒ bodě a. Taylorova řada se středem v bodě a=0 se nazývá Maclaurinova řada. Důl. Maclaurinovy řady: e^x= 1 + x/1! + x²/2! +. . .+ xⁿ/n! + ..., cos x = 1 – x²/2! + x4/4! – . . . + (-1)ⁿ[x²ⁿ/(2n)!]+ ..., sin x = x/1! – x³/3! + . . . + (-1)ⁿ[x²ⁿ⁺¹/(2n+1)!] + ..., (tyto řady konvergují pro všechna reálná x), ln(1+x) = x/1 – x²/2 + . . . + (-1)^n-1xⁿ/n + ... , (řada konverguje pro -1 < x ≤ 1). Je-li ƒ polynom, má jeho Taylorova řada jen konečný počet členů, například (x+2)³ – 6(x+2) + 12(x+2) – 9 je Taylorova řada funkce ƒ(x) = x³ – 1 v bodě a = -2. V teorii funkcí komplexní proměnné se název Taylorova řada nebo Taylorův rozvoj používá pro vyjádření holomorfní funkce (jedné, popřípadě několika proměnných) mocninnou řadou. V případě komplexní proměnné má Taylorova řada opět tvar (*), kde x znamená komplexní proměnnou.

Datum vytvoření: 14. 3. 2000
Datum aktualizace: 5. 10. 2006
Autor: -red-

Reklama: