limita
Matematická analýza
[Latina], základní pojem matematické analýzy. Intuitivně znamená hodnotu, k níž se nějaká (proměnná) veličina neomezeně blíží. Pomocí pojmu limita se definují další základní pojmy matematické analýzy, například derivace, integrál, desetinný rozvoj reálného čísla ap. Limitní funkce f v bodě a je číslo L (píše se L = limx→a f( x)), pro které platí: ke každému kládnému číslu ε existuje takové kladné číslo δ, že |f(x) – L| < ε pro všechna x, která splňují nerovnosti 0 < |x – a| < δ. To je exaktní formulace intuitivní představy: je-li x velmi blízko čísla a, je f(x) velmi blízko číslu L. Z matematického hlediska je důležité, že hodnota f(a) v definici nevystupuje a nemusí být vůbec definována. Například platí limx→0 sin x / x = 1, ačkoliv hodnota sin 0 / 0 není definována. Obdobně se definuje limita zprava (zleva) funkce f v bodě a; přitom místo nerovnosti 0 < |x – a| < δ vystupuje v definici nerovnost 0 < |x – a| < δ (0 < a-x δ), tj. berou se v úvahu jen body x vpravo (vlevo) od a. Limitní funkce f v bodě + (-∞) je číslo L, k němuž se blíží hodnota f(x), jestliže x neomezeně roste (klesá); zapisuje se L = limx→+∞ f(x) (L = limx→-∞ f(x)). Například limx→+∞ arctg x = π / 2, limx→-∞ x / 1-x = 1. Uvedené limity se někdy obšírněji nazývají vlastní limita. Jestliže hodnota f(x) neomezeně roste (klesá), když x se blíží k číslu a, říká se, že funkce f má v bodě a nevlastní limitu +∞ (-∞), a píše se limx→af(x) = +∞ (limx→a f(x)= -∞). Např. limx→0 1/x2 = ∞, limx→π/2 |tgx| = + ∞. Limita posloupnosti a1, a2, ..., an, .. je číslo a, pro které platí: ke každému kladnému číslu ε existuje takové přirozené číslo n0, že pro všechna přirozená čísla n, n ≥ n0, platí nerovnost |an – a| ≤ ε. Píše se limn→∞ an = a, popřípadě stručně an → a. Například lim n→∞ 1 / n sin n = 0, limn→∞ (1 + 1/n)n = e. Posloupnost a1, a2,...an,.. má nevlastní limitu + ∞ (- ∞), jestliže čísla an se s rostoucím n neomezeně zvětšují (zmenšují). Například limn→∞ n + (-1)n = +∞; tento příklad ukazuje, že zvětšování či zmenšování nemusí být monotónní. V moderní matematice se pojem limita rozšiřuje na obecnější matematické objekty (limita zobrazení, limita posloupnosti funkcí ap.) a jeho definice se různým způsobem modifikuje (stejnoměrná limita, slabá limita).
Datum vytvoření: 14. 3. 2000
Datum aktualizace: 22. 8. 2006
Autor: -red-
Odkazující hesla: číselná posloupnost.
Reklama: